Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại (A,AB = 1cm,AC = sqrt 3 cm). Tam giác SAB, SAC lần lượt vuông tại B và C. Khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC có thể tích bằng (frac{{5sqrt 5 }}{6}c{m^3}). Tính khoảng cách từ C tới (SAB).
Bạn đang xem: Cho hình chóp sabc có đáy abc là tam giác vuông tại a
A.(frac{{sqrt 3 }}{2}cm.)B.(frac{{sqrt 5 }}{2}cm.)C.(frac{{sqrt 3 }}{4}cm.)D.(frac{{sqrt 5 }}{4}cm.)
Gọi I là trung điểm của SA.
Tam giác SAB, SAC vuông tại (B,C Rightarrow IS = IA = IB = IC Rightarrow I)là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC.
Gọi H là trung điểm của BC. Vì (Delta ABC)vuông tại (A Rightarrow H)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Xem thêm:
( Rightarrow IH bot left( {ABC} right)).
Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC. Theo bài ra ta có:
(begin{array}{l}frac{4}{3}pi {R^3} = frac{{5sqrt 5 pi }}{6} Leftrightarrow {R^3} = frac{{5sqrt 5 }}{8} = frac{{sqrt {125} }}{8} Leftrightarrow R = frac{{sqrt 5 }}{2}\Rightarrow IS = IA = IB = IC = frac{{sqrt 5 }}{2}end{array})
Xét tam giác vuông ABC có: (BC = sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = 2 Rightarrow AH = 1)
Xét tam giác vuông IAH có: (IH = sqrt {I{A^2} – A{H^2}} = sqrt {frac{5}{4} – 1} = frac{1}{2})
(begin{array}{l}{S_{Delta ABC}} = frac{1}{2}AB.AC = frac{1}{2}.1.sqrt 3 = frac{{sqrt 3 }}{2}\Rightarrow {V_{I.ABC}} = frac{1}{3}IH.{S_{Delta ABC}} = frac{1}{3}.frac{1}{2}.frac{{sqrt 3 }}{2}end{array})
Ta có:
(begin{array}{l}SI cap left( {ABC} right) = A Rightarrow frac{{dleft( {S;left( {ABC} right)} right)}}{{dleft( {I;left( {ABC} right)} right)}} = frac{{SA}}{{IA}} = 2\Rightarrow frac{{{V_{S.ABC}}}}{{{V_{S.IBC}}}} = 2 Rightarrow {V_{S.ABC}} = 2{V_{I.ABC}} = 2.frac{{sqrt 3 }}{{12}} = frac{{sqrt 3 }}{6}end{array})
Xét tam giác vuông SAB có (IB = frac{{sqrt 5 }}{2} Rightarrow SA = 2IB = sqrt 5 Rightarrow SB = sqrt {S{A^2} – A{B^2}} = 2)
( Rightarrow {S_{Delta SAB}} = frac{1}{2}.1.2 = 1)
Ta có ({V_{S.ABC}} = frac{1}{3}dleft( {C;left( {SAB} right)} right).{S_{Delta SAB}} Rightarrow dleft( {C;left( {SAB} right)} right) = frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{Delta SAB}}}} = frac{{3.frac{{sqrt 3 }}{6}}}{1} = frac{{sqrt 3 }}{2}).