Công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị và các dạng bài tập chi tiết từ A – Z

Công thức hoán vị

Cho tập hợp A, gồm n phần tử (n ≥ 1). Một cách sắp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó.

Kí hiệu số hoán vị của n phần tử là P_n

Công thức hoán vị:

P_n = n! = n(n – 1)…2.1

Hoán vị lặp là gì?

Giả sử một tập hợp có k phần tử được đánh số từ 1 đến k. Một cách sắp xếp k phần tử đó sao cho phần tử thứ i (1 ≤ i ≤ k) xuất hiện n(i) lần và n(1)+n(2)+…+n(k)=n được gọi là một hoán vị lặp của k phần tử. Số hoán vị lặp là:

Công thức chỉnh hợp

Trong toán học, chỉnh hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn và có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự.

Theo định nghĩa, chỉnh hợp chập k của n phần tử là một tập con của tập hợp mẹ S chứa n phần tử, tập con gồm k phần tử riêng biệt thuộc S và có sắp thứ tự. Số chỉnh hợp chập K của một tập S được tính theo công thức sau:

Chỉnh hợp không lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp k phần tử của A (1 ≤ k ≤ n ) theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A.

Số chỉnh hợp chập k của n phần tử:

Khi k = n thì Aⁿ_n = p_n = n!

Chỉnh hợp lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi dãy gồm k phần tử của A, trong đó mỗi phần tử có thể được lặp lại nhiều lần, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử tập A.

Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử: A^k_n = n^k

Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm:

Công thức tổ hợp

Tổ hợp là cách chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. Trong những trường hợp nhỏ hơn có thể đếm được số tổ hợp.

Ví dụ cho ba loại quả, một quả táo, một quả cam và một quả lê, có ba cách kết hợp hai loại quả từ tập hợp này: một quả táo và một quả lê; một quả táo và một quả cam; một quả lê và một quả cam.

Công thức tổng hợp là:

Tổ hợp không lặp

Cho tập A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A.

Công thức tính tổ hợp chập k của n:

Tính chất:

Tổ hợp lặp

Cho tập A = a₁, a₂,…,a_n và số tự nhiên k bất kỳ. Một tổ hợp lặp chập k của n phần tử là một tổ hợp gồm k phần tử, trong đó mỗi phần tử là một trong n phần tử của A.

Số tổ hợp lặp chập k của n phần tử:

Phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp

• Chỉnh hợp là bộ sắp có thứ tự: ví dụ, {a,b,c}, {a,c,b}, …
• Tổ hợp là bộ sắp không có thứ tự: ví dụ, {a,b,c} –> ok. Trong khi đó {a,c,b} và các cách sắp thứ tự kiểu khác của {a,b,c} không được tính là tổ hợp.

Bài tập về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp

Ví dụ 1: Sắp xếp 5 người vào một băng ghế có 5 chỗ. Hỏi có bao nhiêu cách.

Mỗi cách đổi chỗ 1 trong 5 người trên băng ghế là 1 hoán vị.

Vậy có P₅ = 5! = 120 (cách).

Ví dụ 2: Ông X có 11 người bạn. Ông ta muốn mời 5 người trong số họ đi chơi xa. Trong 11 người đó có 2 người không muốn gặp mặt nhau. Hỏi ông X có bao nhiêu cách mời?

Lời giải

Ông X chỉ mời 1 trong 2 người đó và mời thêm 4 trong số 9 người còn lại: 2.C⁴₉ = 252.

Ông X không mời ai trong 2 người đó mà chỉ mời 5 trong số 9 người kia: C⁵₉ = 126

Suy ra 2.C⁴₉ + C⁵₉ = 2.126 + 126 = 252 + 126 = 378 cách

Ví dụ 3: Cho tập hợp A = {1,2,3,5,7,9}

a. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau.
b. Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau.

Lời giải:

a. Gọi số tự nhiên gồm 4 chữ số là:

Để có số n ta phải chọn đồng thời a₁, a₂, a₃, a₄ trong đó:

• a₁ có 6 cách chọn
• a₂ có 5 cách chọn
• a₃ có 4 cách chọn
• a₄ có 3 cách chọn

Vậy có 6.5.4.3 = 360 số n cần tìm.

b. Gọi số tự chẵn có 5 chữ số cần tìm là

trong đó:

• a₅ chỉ có 1 cách chọn (bằng 2)
• a₁ có 5 cách chọn
• a₂ có 4 cách chọn
• a₃ có 3 cách chọn
• a₄ có 2 cách chọn

Vậy số n cần tìm là:1.2.3.4.5 = 120 số.

Ví dụ 4: Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1 cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ (n + 5) điểm trên. Giá trị của n là

Lời giải

Để tạo thành một tam giác cần 3 điểm phân biệt

• Trường hợp 1: Chọn 1 điểm trên đường thẳng d₁ và 2 điểm trên đường thẳng d₂ có C¹₅.C2n
• Trường hợp 2: Chọn 2 điểm trên đường thẳng d₁ và 1 điểm trên đường thẳng d₂ có C²₅.C¹_n

Sau khi đọc xong bài viết về công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị mà chúng tôi đã trình bày chi tiết phía trên có thể giúp các bạn áp dụng vào làm bài tập nhé