Bạn đang gặp khó khăn khi tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng hay nghịch biến trên một khoảng phải không? Bạn đang cần một bài hướng dẫn chi tiết giúp bạn vượt qua khó khăn. Xin chúc mừng bạn, đây là bài viết chi tiết về sự biến thiên của hàm số. Bài viết này trình bày khá chi tiết từ cơ sở lý thuyết, các trường hợp có thể xảy ra, các bước làm theo. Để không mất thời gian, mời bạn xem chi tiết:
Phương pháp
1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K.
Bạn đang xem: Tìm m Để hàm số Đồng biến trên khoảng, nghịch biến trên khoảng
Nếu $f”(x) ge 0,,,forall x in K$ thì f(x) đồng biến trên K.Nếu $f”(x) le 0,,,forall x in K$ thì f(x) nghịch biến trên K.2. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức $Delta = {b^2} – 4ac$. Ta có: $f(x) ge 0,,,forall x in R, Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a > 0\ Delta le 0 end{array} right.$$f(x) le 0,,,forall x in R, Leftrightarrow left{ begin{array}{l} a 3. Xét bài toán: “Tìm m để hàm số y = f(x,m) đồng biến trên K”. Ta thực hiện theo các bước sau:Bước 1. Tính đạo hàm f’(x,m).
Xem thêm:
Bước 2. Lý luận: Hàm số đồng biến trên K$ Leftrightarrow f”(x,m) ge 0,,,forall x in K Leftrightarrow m ge g(x),forall x in K,,left( {m le g(x)} right)$ Bước 3. Lập bảng biến thiên của hàm số g(x) trên K. Từ đó suy ra giá trị cần tìm của tham số m.Sử dụng định lý về điều kiện cầnNếu hàm số f (x) đơn điệu tăng trên R thì $f”left( x right) geqslant 0,forall x in R$.Nếu hàm số f (x) đơn điệu giảm trên R thì $f”left( x right) leqslant 0,forall x in R$
Hướng dẫn
Ví dụ 1 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $y = frac{{mx + 3 – 2m}}{{x + m}}$
Hàm số đã cho xác định trên khoảng (—∞; —m) ∪ (—m; +∞)Ta có $y” = frac{{{m^2} + 2m – 3}}{{{{left( {x + m} right)}^2}}},x ne – m$Bảng xét dấu y’
Dựa vào bảng xét dấu ta thấy: Nếu —3 Ví dụ 2 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định $y = frac{{ – 2{x^2} + left( {m + 2} right)x – 3m + 1}}{{x – 1}} = – 2x + m + frac{{1 – 2m}}{{x – 1}}$
Hàm số đã cho xác định trên khoảng (—∞; 1) ∪ (1; +∞) .Ta có: $y” = – 2 + frac{{2m – 1}}{{{{left( {x – 1} right)}^2}}},x ne 1$+ $m leqslant frac{1}{2} Rightarrow y” + m > 0,5 khi đó phương trình y’ = 0 có hai nghiệm x1 hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (x1; 1) và (1; x2), trường hợp này không thỏa .Vậy $m leqslant frac{1}{2}$ thỏa mãn yêu cầu của bài toánVí dụ 3 : Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên R: $y = – frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + left( {2m + 1} right) – 3m + 2$
+ m = – 2,5 thì y” = – (x – 2)$^2$ Do đó hàm số nghịch biến trên R.+ m + m > – 2,5 thì y” = 0 có hai nghiệm x1, x2 (x1 Ví dụ 4: Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên R: $y = frac{{left( {m + 2} right)}}{3}{x^3} – left( {m – 2} right){x^2} + left( {m – 8} right)x + {m^2} – 1$
Hàm số đã cho xác định trên R.Ta có y” = (m + 2)x$^2$ – 2(m + 2)x + m – 8 .+ m = -2, khi đó y” = -10 ≤ 0, ∀x ∈ R => hàm số luôn nghịch biến trên R.+ m ≠ -2 tam thức y” = (m + 2)x$^2$ – 2(m + 2)x + m – 8 có ∆” = 10(m + 2)Bảng xét dấu ∆’
+ m + m > -2 thì y” = 0 có hai nghiệm x1,x2 (x1 Vậy m ≤ -2 là những giá trị cần tìm.Ví dụ 5 : Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên R: $y = frac{{{x^3}}}{3} + a{x^2} + 4x + 3$
+ Nếu -2 0 với mọi x ∈ R. Hàm số y đồng biến trên R.+ Nếu a = 2 thì y” = (x + 2)$^2$ , ta có : y” = 0 x = -2, y” > 0, x ≠ -2 . Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (- ∞; -2> và : Tìm a để các hàm số sau luôn đồng biến trên R: $y = frac{1}{3}left( {{a^2} – 1} right){x^3} + left( {a + 1} right){x^2} + 3x + 5$
Hàm số đã cho xác định trên R.Ta có : y ” = (a$^2$ -1)x$^2$ + 2(a + 1)x + 3 và có ∆” = 2( – a$^2$ + a + 2)Hàm số y đồng biến trên R khi và chỉ khi y” ≥ 0, ∀x ∈ R (1)+ Xét a$^2$ -1 = 0 a = ±1a = 1 => y” = 4x + 3=> y” ≥ 0 x ≥ – 4/3 => a = 1 không thoả yêu cầu bài toán.a = 1 => y” = 3> 0 ∀ x ∈ R => a = – 1 thoả yêu cầu bài toán.+ Xét a$^2$ — 1 ≠ ±1* Bảng xét dấu ∆”
Nếu a 2 thì y” > 0 với mọi x ∈ R. Hàm số y đồng biến trên R.Nếu a = 2 thì y” = 3 (x + 1)$^2$ , ta có : y” = 0 x = —1, y” > 0, x ≠ —1. Hàm số y đồng biến trên mỗi nửa khoảng (- ∞; —1> và Chú ý:Phương pháp:Hàm số y = f (x, m) tăng trên R y” > 0 ∀ x ∈ R min y” ≥ 0.Hàm số y = f (x, m) giảm trên Ry” 1) Nếu y” = ax$^2$ +bx + c thì$y” geqslant 0,forall x in R Leftrightarrow left 0 hfill \ Delta leqslant 0 hfill \ end{gathered} right. hfill \ end{gathered} right.$$y” leqslant 0,forall x in R Leftrightarrow leftHàm đồng biến trên R thì nó phải xác định trên R .
Bài tập tự luyện
Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (y = frac{{x – {m^2} + 7m – 11}}{{x – 1}})Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (y = frac{{left( {m – 1} right)x + {m^2} + 2m – 3}}{{x + 3m}})Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (y = frac{{left( {m – 1} right){x^2} + 2x + 1}}{{x + 1}})Tìm m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (y = frac{{{x^2} – 2left( {m + 2} right)x + m – 1}}{{x – 3}})Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (y = x + 2 + frac{m}{{x – 1}})Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (y = frac{{{x^3}}}{3} – {m^2}x + 1)Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (y = left( {m – 1} right)x – 3 – frac{{m + 4}}{{x + 1}})Tim m để các hàm số sau luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định (y = frac{{m{x^4}}}{4} – {m^2}{x^2} + m – 1)Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định (y = frac{{{x^3}}}{3} – frac{m}{2}{x^2} + left( {{m^2} – 3} right)x – 1)Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định (y = frac{{{x^3}}}{3} – m{x^2} + left( {m + 2} right)x + 3)Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định (y = left( {m + 2} right)frac{{{x^3}}}{3} – left( {m -1 } right){x^2} + 4x – 1)Tim m để các hàm số sau luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định (y = left( {m – 2} right)frac{{{x^3}}}{3} – left( {2m – 3} right){x^2} + left( {5m – 6} right)x + 2)
Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký để bình luận.
Chia sẻ:FacebookTwitterGoogle+RedditPinterestTumblrLink
|