Các dạng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số từ A – Z – Thủ Thuật

Kiến thức cần nhớ về phương trình tiếp tuyến

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M (x; y). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M (x; y) là y = y'(x )(x – x ) + y

Trong đó:

• Điểm M(x; y) ∈(C) được gọi là tiếp điểm ( với y = f(x)).
• k = y'(x) là hệ số góc của tiếp tuyến.

Nguyên tắc chung để lập được phương trình tiếp tuyến là ta phải tìm được hoành độ tiếp điểm x0.

Lưu ý:

• Đường thẳng bất kỳ đi qua M(x; y) có hệ số góc k, có phương trình y = k(x – x ) + y
• Cho hai đường thẳng Δ₁:y = k₁x + m₁ và Δ₂: y = k₁ x + m_2. Lúc đó: Δ₁ ⊥ Δ₂ ⇔ k₁.k₂ = -1

Tham khảo thêm:

Các dạng viết phương trình tiếp tuyến thường gặp

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm

Phương pháp:

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C): y = f(x) tại điểm M (x; y).

• Bước 1. Tính đạo hàm y’ = f(x). Từ đó suy ra hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x).
• Bước 2: Công thức phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M (x; y) có dạng: y = y'(x)(x – x) + y0.

Lưu ý:

• Nếu đề cho hoành độ tiếp điểm x thì tìm y bằng cách thế x vào hàm số y = f(x).
• Nếu đề cho tung độ tiếp điểm y thì tìm y bằng cách thế y vào hàm số y = f(x).
• Nếu đề bài yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại các giao điểm của đồ thị hàm số (C): y = f(x) với đường thẳng d: y = ax + b. Khi đó các hoành độ tiếp điểm x là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm (C) và d. Phương trình hoành độ giao điểm (C) và d có dạng f(x) = ax + b.
• Trục hoành Ox thì có y = 0 và trục tung Oy thì x = 0.

Ví dụ 1:Cho hàm số (C):y = x³ + 3x². Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4).

Hướng dẫn

Ta có y’ = 3x² + 6x;

=> k = y'(1) = 3. 1² + 6.1 = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4) là:

d: y = y'(x )(x – x ) + y

<=> y = 9(x – 1) + 4 = 9x – 5

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9x – 5

Ví dụ 2: Cho điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = (2x + 1)/(x – 1) và có hoành độ bằng -1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại điểm M.

Lời giải:

Ta có: x = -1. Suy ra y = y(-1) = 1/2

Phương trình tiếp tuyến tại M là

Ví dụ 3: Cho hàm số (C):y = 4x³ – 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).

Hướng dẫn

Ta có y’ = 12x² – 12x

Gọi M(x, y) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:

y = (12x² – 12x)(x – x ) + 4x³ – 6x² + 1

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9) nên ta có:

-9 = (12x² – 12x )( -1 – x ) + 4x³ – 6x³ + 1

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A; y_A)

Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Bước 1. Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x_A; y_A), hệ số góc k có dạng: d: y = k (x- x_A ) + y_A (*)

Bước 2: d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ có nghiệm

Bước 3: Giải hẹ trên tìm được x => K và thế vào phương trình (*) thu được phương trình tiếp tuyến cần tìm

Cách 2.

Bước 1. Gọi M(x; f(x )) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến k = y'(x ) = f'(x) theo x

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'(x )(x – x ) + y (**). Do điểm A(x_A; y_A) ∈ d nên y_A = y'(x )(x_A – x ) + y giải phương trình này ta tìm được x .

Bước 3. Thế x vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = – 4x³ + 3x + 1 đi qua điểm A(-1; 2).

Lời giải:

Ta có: y’= – 12x² + 3

Đường thẳng d đi qua A (-1; 2) có hệ số góc k có phương trình d: y = k(x + 1) + 2.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ có nghiệm.

Rút k từ phương trình dưới thế vào phương trình trên ta được:

– 4x³ + 3x + 1 = (-12x² + 3) (x + 1) + 2

⇔ 8x³ + 12x² – 4 = 0

⇔ (x – ½)(x+ 1)² = 0

⇔ x = -1 hoặc x = ½

+ Với x = -1. Thế vào phương trình k = – 12x² + 3 ta được k bằng -9.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = – 9x – 7.

+ Với x = 1/2. Thế vào phương trình k = – 12x² + 3 ta được k bằng 0.

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 2.

Vậy đồ thị (C) có 2 tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; 2) là y = – 9x – 7 và y = 2.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của (C): đi qua điểm A(-1; 4).

Lời giải

Điều kiện: x ≠ – 1. Ta có:

Đường thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 4) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x + 1) + 4.

Đường thẳng d là tiếp tuyến của (C)

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k

Phương pháp:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) với hệ số góc k cho trước.

• Bước 1. Gọi M(x; y) là tiếp điểm và tính y’= f'(x)
• Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến k = f'(x). Giải phương trình này ta tìm được x, thế vào hàm số tìm được y.
• Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến dưới dạng:d: y = y’.(x – x) + y.

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) song song với đường thẳng

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng Δ: y=ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm M(x; y) là y=a(x−x)+y

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) vuông góc với đường thẳng

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng Δ: y = ax+b nên tiếp tuyến có hệ số góc k=−1/a. Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua tiếp điểm M(x; y) là −1/a(x−x)+y

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tạo với trục hoành 1 góc α

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì k = ± tanα.

Tổng quát: tiếp tuyến tạo với đường thẳng Δ: y = ax + b một góc α, khi đó

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi M(x; y) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y’ = 3x² – 6x + 6

Khi đó y’ (x )=3x² – 6x + 6 = 3(x² – 2x + 2) = 3[(x – 1)2 + 1] ≥ 3

Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y’ (x) = 3, dấu bằng xảy ra khi x = 1

Với x = 1 thì

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x – 1) + 5 = 3x + 2

Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = x³ – 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Lời giải:

Gọi M(x; y) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y’ = 3x² – 3

Khi đó y'(x ) = 3x² – 3 = 9 ⇔ x = ± 2

Với x = 2 => y = (2.3) – 3.2 + 2 = 4. Ta có tiếp điểm M₁(2; 4).

Phương trình tiếp tuyến tại M₁ là d₁: y = 9(x- 2) + 4 ⇔ y = 9x – 14

+ Với x = -2 => y = 0. Ta có tiếp điểm M₂ (-2; 0).

Phương trình tiếp tuyến tại M₂ là d₂: y = 9(x + 2) + 0 ⇔ y = 9x + 18

Kết luận: Vậy đồ thị hàm số (C) có 2 tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9 là (d₁): y = 9x – 14 và (d₂): y = 9x + 18.

Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3x³ + ½ x² – 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y – 1 = 0 một góc 45.

Lời giải

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x, y).

Có y’ = x² + x – 2

Phương trình đường thẳng d: x + 3y – 1 = 0 ⇔ y = -1/3 x + 1/3

Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + 3y – 1 = 0 một góc 45 nên ta có

x = 0 ⇒ y(x )= 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2(x – 0) + 1 = -2x + 1

x = -1 ⇒ y(x ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2(x + 1) + 19/6 = -2x + 7/6

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến chứa tham số m

Phương pháp:

Dựa vào điều kiện bài toán và các dạng toán ở trên để biện luận tìm ra tham số m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ: Cho hàm số y = x³ – 3x² có đồ thị hàm số (C). Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ x = 1. Tìm giá trị m để tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng Δ: y = (m² – 4)x + 2m – 1.

Lời giải

TXD: D = R

Ta có: y’ = 3x² – 6x.

Điểm M có hoành độ x = 1 nên suy ra y = x³ – 3x² = 1³ – 3.1² = -2

Vậy tọa độ điểm M (1; -2).

Phương trình tiếp tuyến (d) tại điểm M (1; -2) của (C) có dạng:

y – y = y ‘(x). (x – x) <=> y ​​+ 2 = (3.1² – 6.1). (x – 1) <=> y ​​= -3x + 1.

Khi đó để (d) // Δ:

Từ đó phương trình đường thẳng Δ: y = -3x + 3.

Kết luận: vậy với m = -1 thì tiếp tuyến (d) của (C) tại điểm M (1; -2) song song với đường thẳng Δ.

Hy vọng với những kiến thức mà chúng tôi vừa phân tích phía trên có thể giúp các bạn hệ thống lại được kiến thức từ đó biết giải nhanh các dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến nhé